Modulo 18 Semana 2 "La derivada y su funcion "
Supongamos
que el costo de la producción en pesos de x toneladas de jitomate
está dada por la siguiente función: c (x) = 5x2 + 3x
Es decir, para producir 1,150 toneladas de jitomate
se necesitan c (1,150) = 5 (1,150)2 + 3(1,150) = 6, 615,950
(seis millones seiscientos quince mil novecientos cincuenta pesos).
Si
queremos saber cuánto se deberá pagar si se incrementa la producción a 30
toneladas más, hay que derivar la ecuación de la producción total y así obtener
el costo del incremento de la producción. Para ello, se puede realizar el
siguiente proceso:
a.
Se deriva
la función del costo de producción
c(x)= 5x2+3x
Para
derivarla se utiliza la siguiente fórmula, que es para realizar una derivada de
un polinomio:
a.
El
resultado o la derivada de la función de producción total es:
2. A
partir de lo anterior, responde:
• ¿Cuánto deberá pagarse por aumentar a 30
toneladas la producción, es decir, por producir 1,150 toneladas de jitomate?
La función del
coste de producción es c(x)=5x2+3xc(x)=5x2+3x,
siendo xx las toneladas que se producen.
Si se producen 1150 toneladas, el coste es de
c (1150) =5⋅ (1150)2+3⋅1150 = 6615950
Si se producen 30
toneladas más, es decir, si se producen 1180 toneladas, el coste es
c (1180) =5⋅ (1180)2+3⋅1180=6965540
Hemos calculado los
dos costes porque sabemos exactamente la función.
La diferencia de
los costes es
6965540 − 6615950 =
349590
Cuando se producen 1150, el costo real por unidad de tonelada es
6615950 / 1150 = 5753
Y cuando se
producen 1180 toneladas, el costo por unidad es
6965540 / 1180 =
5903
La diferencia es un crecimiento de 5903 – 575 = 1505903 – 575 = 150 por
unidad. Es decir, al producirse 30 toneladas más, el costo de producir 1
tonelada es mayor.
También podemos calcular cuánto pagamos por cada tonelada de más:
En el problema, la derivada de la función cc es
c′(x)=5⋅2x+3=10x+3c′(x)=5⋅2x+3=10x+3
En nuestro caso, a=1150a=1150 y b=1180b=1180.
Entonces
c (1180) −c (1150)
=30⋅c′ (1180)
349590 = 30 ⋅ 11803
Entonces, pagaremos
11803 por cada tonelada extra. Obtenemos 11803
Podemos calcular el
valor exacto
C (1180) – c (1150)
=30
Entonces
c = 349590 / 30
= 11653 Resultado
¿para qué se aplicó la derivada de la función de producción total?
